Подскажите пожалуйста, когда используется DO NOT, а когда DON'T?
Это одно и то же. По сути DO NOT - более официальный вариант. Например, когда пишешь заявление на работу в официальном стиле. А DON'T - сокращенная форма. Например, в устной речи, либо в письме другу.