Помогите пожалуйста, с решением, все испробовал никак не могу...

Пусть 3x+5 = t; Тогда нужно найти $\int {t^{7} } \, dx$ Но дифференциал dx указывает на то, что процесс интегрирования должен происходить по переменной x, а у нас переменная t; Значит нужно выразить dx через dt; Заметим, что $\frac{dt}{dx}=(3x+5)'=3;$ Значит $dx= \frac{dt}{3}$ ; Подставим это вместо dx:
$\int {t^{7} } \, dx= \int { \frac{t^{7}}{3} } \, dt = \frac{1}{3} \int {t^{7} } \, dt= \frac{t ^{8} }{24}+C$ Сделаем обратную замену. В результате:
$\int {(3x+5)^{7} } \, dx = \frac{(3x+5)^{8} }{24}+C$ ; Можно было и без замены делать, но это так, чтоб показать)
==
Сделаем замену $sin(x)=t$
Получим: $\int {t-t^{3} } \, dt= \int {t} \, dt- \int {t^{3} } \, dt= \frac{t^{2} }{2}- \frac{t^{4} }{4}+C$
Сделав обратную замену: $\frac{sin^{2}(x) }{2} - \frac{sin^{4}(x) }{4} +C$