1) Ищете производную;
2) Если f'(x) ≥ 0, функция не убывает данном промежутке, если f'(x) ≤ 0, то не возрастает. Эти промежутки и есть интервалы монотонности.
Вот и все. Рассмотрим Ваш пример:
f(x) = 3x² - 18x + 1.
f'(x) = 6x - 18.
6x - 18 ≥ 0, т.е. x ≥ 3 - функция не убывает.
x ≤ 3 - функция не возрастает.
(Можно также говорить возрастает/убывает, но тогда надо концы интервалов не включаются: например, здесь если x > 3, то функция возрастает. Т.к. на самих концах функция не возрастает/не убывает, эти точки или включаются в оба промежутка, или нет, в зависимости от того, как Вы говорите: не убывает/не возрастает или возрастает/убывает).
Ответ: функция не убывает: x ≥ 3, не возрастает: x ≤ 3.
В данном случае с параболой можно было сделать проще. График этой параболы легко представить: это парабола ветвями вверх (a = 3 > 0), значит, до вершины функция убывает, после - возрастает. Ищем вершину: x₀ = 
И ответ получаем точно такой же. Это объясняется тем, что, ища производную, мы нашли минимум функции (нулями производной может быть как минимум, так и максимум, надо смотреть на возрастание/убывание), который для параболы ветвями вверх и есть ее вершина. Таким образом, Вы можете смотреть по графику возрастание/убывание или искать с помощью производной (это универсальнее).
Надеюсь, что помогла. :) Если что, задавайте вопросы в комментарии.