X^3 + x + 1 = 0 (Икс в кубе плюс икс плюс один равно нулю)

Будем сводить это уравнение к уравнению второй степени. Для этого нужно найти замену. Пусть вместо x подставлено выражение A-B;
Тогда имеем: $(A-B)^{3}+(A-B)+1=0 \Leftrightarrow A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}+A-B+1=0$
Постараемся убрать произведения с тройками. Для этого нужно, чтобы
$3A^{2}B=A \Leftrightarrow 3AB=1 \Leftrightarrow AB= \frac{1}{3}$ ;
Пусть тогда $A-B=m- \frac{1}{3m}=x$
Подставим в уравнение:
$(m- \frac{1}{3m})^{3}+m- \frac{1}{3m}+1=0 \Leftrightarrow m^{3}-m+ \frac{1}{3m}- \frac{1}{27m^{3}}+m- \frac{1}{3m}+1=0$
И после упрощения: $m^{3}- \frac{1}{27m^{3}}+1=0 \Leftrightarrow \frac{27m^{6}+27m^{3}-1}{27m^{3}}=0$ Считаем, что A-B≠0; Сделаем еще одну замену: $m^{3}=u$ ; С учетом этого перепишем:
$27u^{2}+27u-1=0$ ; Корни этого уравнения: $u_{1,2}= \frac{-9б \sqrt{93} }{18}$ ;
Отсюда $m_{1,2}= \sqrt[3]{\frac{-9б \sqrt{93} }{18}}$
$x_{1,2}=\sqrt[3]{\frac{-9б \sqrt{93} }{18}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{\frac{-9б \sqrt{93} }{18}}}$ ; При этом подстановкой убеждаемся, что подходит лишь корень
$x=\sqrt[3]{\frac{-9- \sqrt{93} }{18}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{\frac{-9- \sqrt{93} }{18}}} \approx -0,68995$