1-cosx=t dt=-sinx это ошибка распишите полностью пример плиз. Само решение правильное,но...

$\int\limits^{2 \pi} _ \frac{3 \pi }{2} {( \sqrt{1-cosx}\times sin x)} \, dx = \int\limits^{2 \pi} _ \frac{3 \pi }{2} {\sqrt{1-cosx}} \, d(-cosx )=\\\\=\int\limits^{2 \pi} _ \frac{3 \pi }{2} {\sqrt{1-cosx}} \, d(1-cosx )= \frac{2}{3} \sqrt{(1-cosx)^3} |^{2 \pi} _ \frac{3 \pi }{2}=\\\\=0- \frac{2}{3} *1=- \frac{2}{3}$

в принципе можно делать замену t = 1-cosx, тогда d(1-cosx) = dt
пределы 1 и 0, но думаю можно и без замены, и так очевидно