Откуда берется 1/5?

$\int \, cos5x\, dx=[\, t=5x,\; dt=5\, dx\; \; \to \; \; dx=\frac{dt}{5}\, ]=\\\\=\int cost\cdot \frac{dt}{5}=\frac{1}{5}\int cost\cdot dt=\frac{1}{5}\cdot sint+C=\frac{1}{5}\cdot sin5x+C$

Полезно обходится без замены при вычислении интегралов от сложных функций, внутренние аргументы которых являются линейными функциями.

$P.S.\; \; \int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}\cdot sin(ax+b)+C\\\\\int sin(ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cdot cos(ax+b)+C\\\\\int (ax+b)^{n}dx=\frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} +C\\\\\int \frac{dx}{\sqrt{ax+b}}=\frac{1}{a}\cdot 2\sqrt{ax+b}+C}\\.......................................................................$

$\star \; \; Esli\; \int f(x)dx=F(x)+C\; ,\; to\\\\\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\cdot F(ax+b)+C\; \; \star$