А(0;0;0)
B(5;0;0)
C(x₁;y₁;0)
---
AC² = 34
x₁² + y₁² = 34
BC² = 41
(5-x₁)² + y₁² = 41
25 - 10x + x² - x² = 41 - 34
25 - 10x = 7
10x = 18
x₁ = 9/5
y₁ = √(34 - 81/25) = √(769/25) = √769/5
Отрицательный корень не нужен, зеркальная точка С не нужна
С(9/5; √769/5; 0)
---------
Вершина H(x₂;y₂;z₂)
AH² = BC² = 41
x₂² + y₂² + z₂² = 41
BH² = AC² = 34
(5-x₂)² + y₂² + z₂² = 34
(5-x₂)² - x₂² = 34 - 41
25 - 10x₂ = - 7
10x₂ = 32
x₂ = 16/5
y₂² + z₂² = 41 - (16/5)² = 769/25
z₂² = 769/25 - y₂²
H(16/5; y₂; z₂)
---
CH² = AB² = 25
(x₁ - 16/5)² + (y₁ - y₂)² + z₂² = 25
(9/5 - 16/5)² + (√769/5 - y₂)² + z₂² = 25
49/25 + y₂² - 2√769/5*y₂ + 769/25 + z₂² = 25
y₂² - 2√769/5*y₂ + z₂² + 818/25 = 25
y₂² - 2√769/5*y₂ + z₂² + 193/25 = 0
y₂² - 2√769/5*y₂ + 769/25 - y₂² + 193/25 = 0
- 2√769/5*y₂ + 769/25 + 193/25 = 0
- √769/5*y₂ + 481/25 = 0
√769*y₂ = 481/5
y₂ = 481/(5√769)
z₂² = 769/25 - y₂² = 769/25 - (288/(5√769))² = 769/25 - 231361/19225 = 14400/769
z₂ = 120/√769
Отрицательный корень снова выбросили, зачем нам ещё одно такое же решение...
---
Площадь основания (Высота треугольника равна координате y точки С)
S = 1/2*AB*CT = 1/2*5*√769/5 = √769/2
Объём (Высота пирамиды равна координате z точки H)
V = 1/3*S*h = √769/6*120/√769 = 20