Из условия задачи следует, что ∠BMA = ∠CMK = 60◦
, а тогда и ∠AMK = 60◦. Далее
можно рассуждать по-разному:
Первый способ. Диагональ CA квадрата является биссектрисой внутреннего угла треугольника CMK, а луч MA — биссектрисой его внешнего угла, поэтому вершина A —
центр вневписанной окружности этого треугольника. Следовательно, KA также является биссектрисой внешнего угла треугольника CMK, поэтому ∠AKD =
1
2
∠MKD = 75◦
.
Второй способ. Продлим отрезок KM до пересечения с прямой AB в точке P. Тогда ∠PMB = ∠CMK = ∠AMB. Следовательно, прямоугольный треугольники
PMB и AMB равны (по катету и острому углу), тогда PB = AB, то есть AP = 2a, где a —
сторона данного квадрата, и PM = AM.
По свойству катета, противолежащего углу в 30◦ в прямоугольном треугольнике,
AM = 2BM и MK = 2MC. Следовательно, PK = PM + MK = 2(BM + MC) = 2BC = 2a.
Таким образом, треугольник APK — равнобедренный с углом 30◦ при вершине P,
поэтому его угол при основании равен 75◦
. Так как ∠MKD = 150◦
, а ∠MKA = 75◦
, то
∠AKD = 75◦
.