В треугольнике ABC со сторонами AB=6; BC=7;CA=8. Точки A1 и C1 - основания высот,...

Рассмотрим угол ABA₁; С одной стороны $\cos \angle ABA_{1} = \frac{BA_{1}}{AB}$ ; С другой $\cos \angle ABA_{1}= \frac{C_{1}B}{BC}$ ; Получаем $\frac{C_{1}B}{BC}=\frac{BA_{1}}{AB}$ , Значит треугольники C₁BA₁ и ABC подобны по общему углу ABA₁ и двум пропорциональным сторонам, причем коэффициент подобия равен косинусу общего угла. Найдем косинус угла по теореме косинусов.
$6^{2}+7^{2}-2\times 6\times 7 \times \cos \angle ABA_{1} = 64 \Leftrightarrow \cos \angle ABA_{1} = 0,25$ ; Поэтому $\frac{A_{1}C_{1}}{AC}= \cos \angle ABA_{1} = 0,25 \Leftrightarrow A_{1}C_{1}=AC\cos \angle ABA_{1}=8 \times0,25=2$ ; Отсюда $BC_{1}=\frac{7}{4}$ ; $C_{1}C^{2}=49- \frac{49}{16}$ ; $C_{1}A=\sqrt{64-49+\frac{49}{16}}= \frac{17}{4}$ ; Треугольники C₁AH и A₁HC подобны по двум углам. $\frac{C_{1}A}{A_{1}C}= \frac{AH}{HA_{1}}= \frac{17}{22}$ ; При этом $AA_{1}= \frac{3\sqrt{15}}{2}$ ; Значит $HA_{1}= \frac{3\sqrt{15}}{2}\div(1+ \frac{17}{22})= \frac{11\sqrt{15}}{2}$ , откуда $BH= \sqrt{ \frac{9}{4}+ (\frac{11\sqrt{15}}{2})^{2}}=2\sqrt{114}$