Решить задачу Коши. 2yy''=(y')^2, y(1)=0, y'(1)=1

Это уравнение вида $y''=f(y;y')$ . Для решения такого уравнения нужно вводить новую замену $y'=p(y)$ , тогда $y''=p'p$

$2yp'p=p^2\\ 2yp'=p$

Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{dp}{dy} =\frac{p}{2y} ~~~\Rightarrow~~ \int\frac{dp}{p} =\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y} ~~\Rightarrow~~ \ln|p|=\ln\sqrt{y} +\ln C_1\\ \\ p=C_1\sqrt{y}$

Сделав обратную замену: $y'=C_1\sqrt{y}$

$\displaystyle \int \frac{dy}{C_1\sqrt{y}} =\int dx~~\Rightarrow~~~ \frac{2\sqrt{y}}{C_1} =x+C_2$

Получили общий интеграл. Теперь нужно найти частное решение, подставив начальные условия: y(1)=0 и y'(1)=1.

$\displaystyle \left \{ {{\frac{2\sqrt{0}}{C_1}=1+C_2} \atop {1=C_1\cdot \sqrt{1}}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{0=1+C_2} \atop {C_1=1}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ C_1=1;~C_2=-1$

$2\sqrt{y} =x-1$ - ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ.