А) Дано: ΔDEF; ∠E=90°; Сравнить стороны DE и DF;
Поскольку угол E - прямой, треугольник DEF прямоугольный. DE - катет, DF - гипотенуза. Согласно теореме Пифагора DF²=DE²+EF², откуда вытекает неравенство DE
Б) Дано: р/б треугольник; Стороны 3 см и 7 см. Найти третью сторону.
Решение:
В любом невырожденном треугольнике (т.е. в треугольнике, в котором все три вершины не лежат на одной прямой) выполняется неравенство треугольника, которое гласит: сумма любых двух сторон больше третьей. У нас стороны 3 см и 7 см. Третья сторона равна либо 3 см, либо 7 см, так как треугольник равнобедренный. Но если третья сторона равна 3 см, то неравенство треугольника не выполняется: 3 см + 3 см = 6 см < 7 см
Таким образом третья сторона равна 7 см, для которой вышеизложенное неравенство справедливо.
В) Дано: ΔABC; 90°<∠B<180°; AD - биссектриса. Доказать: AD>AB;
Доказательство:
Рассмотрим треугольник BAD; В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то сумма любых двух углов меньше 180 градусов, значит в любом треугольнике не более одного тупого угла. Следовательно, в треугольнике BAD единственный тупой угол - ∠ABD; Значит, угол ABD наибольший в этом треугольнике. Значит, сторона AD - наибольшая и как результат - AD>AB