очевидно при n = 1 не существует графа с 2 ребрами, поэтому n ≥ 2
степень вершины - количество всех ребер, выходящих из вершины deg(v)
сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству всех ребер
т.е. в данном графе сумма степеней вершин
будем доказывать от противного. предположим такого ребра нет.
рассмотрим любые 4 вершины, чтобы среди них не было ребра, которое принадлежит двум циклам длины 3, среди них может быть проведено не более 4 ребер, как бы не проводили пятое, всегда оно дополнит второй цикл.
поэтому сумма степеней всех вершин среди любых четырех не превосходит 4*2 = 8
рассмотрим четверки:
deg(v_2)+deg(v_3)+deg(v_4)+deg(v_5)\leq 8\\
...\\
deg(v_{2n})+deg(v_1)+deg(v_2)+deg(v_3)\leq 8\\ " alt=" deg(v_1)+deg(v_2)+deg(v_3)+deg(v_4)\leq 8\\
deg(v_2)+deg(v_3)+deg(v_4)+deg(v_5)\leq 8\\
...\\
deg(v_{2n})+deg(v_1)+deg(v_2)+deg(v_3)\leq 8\\ " align="absmiddle" class="latex-formula">
сложим все неравенства и получим, что
4*deg(V) ≤ 16n
deg(V) ≤ 4n
но deg(V) по условию равно 2n² + 2
2n² + 2 ≤ 4n
2(n-1)² ≤ 0
неравенство может выполниться только при n = 1, но как уже было отмечено, этот случай не удовлетворяет по условию.
Значит, наше предположение было не верно.
Ответ: доказано.