Интересная задача...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

(*)Рассмотрим сумму четырех чисел: $a+b+c+d$ ; Пусть их сумма фиксирована и равна S. Тогда минимальная сумма им обратных чисел равна 4/S; Вернемся к задаче. $\cos^{2} x+ \cos^{2} y+ \cos^{2} z+ \cos^{2} t=4-\sin^{2} x- \sin^{2} y- \sin^{2} z- \sin^{2} t=1$ . Получаем: $\sin^{2}x+\sin^{2}y+\sin^{2}z+\sin^{2}t=3$ . Принимая во внимание все то, что было сказано в (*), получаем, что по крайней мере два из четырех слагаемых в нашей сумме должны быть максимальны. Пусть тогда $\sin x = \sin y =1$ ; Если бы и sin z равнялся бы 1, то sin t =0 и котангенс не определен. Значит нужно найти максимальное значение двух последних слагаемых, учитывая, что $\cos x = \sqrt{1-\sin^{2}x}$ . Их максимальное значение равно 1/2 = 0,5; В итоге получаем значения котангенсов: 0; 0; 0,5; 0,5. Их сумма равна 2.

=============

Согласно (*), можно было бы сказать, что минимальная сумма равна 4. Но примечание было рассчитано на числа, для которых не существует понятия максимум.

=============

Другой способ:

Котангенс - это отношение косинуса к синусу. Поэтому его минимум достигается при минимуме косинуса и максимуме синуса. Согласно (*) максимальное значение косинуса 1/2. Минимум синуса - 0 (не "связанного" со значением косинуса 1/2) В итоге получаем 4*0,5 = 2. Ясно, что мы нашли отдельно значение синуса и косинуса, хотя они связаны тригонометрическим тождеством. Тем не менее, довольно просто доказать, что "связка" синуса и косинуса происходит обычным распределением значений. Поэтому достаточно привести пример, в доказательство того, что минимум равен 2: $x=y=\frac{\pi}{2}\\ z=t=\frac{\pi}{4}$

Guerrino_zn (5.1k баллов) 09 Сен, 18

LechK_zn · Answer 1 · 2018-09-09T11:06:54+0000

Честно говоря, трудно расписать какое-либо конкретное решение, когда имеются 4 переменных. Поэтому чисто "анализ" задачи, но с ответом.

Сумма квадратов косинусов 4 переменных равна 1.

$\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z+\cos^2t=1\\x,y,z,t\in(0;\frac{\pi}{2}]$

Предположим, что 2 переменные будут равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

тогда

$cos^2x+cos^2y+2\times\frac{\sqrt{2}^2}{2^2} =1\\cos^2x+cos^2y+1=1\\cos^2x+cos^2y=0\\ x=y=\frac{\pi}{2}$

Мы знаем, что $\cos^2\frac{\pi}{2}=0$

Сделаем другое предположение.

Увеличим величину z на любое число между 0 и π/4, и уменьшим число t на такое же число.

Значение суммы квадратов косинусов не изменилось, но сумма котангенсов начала увеличиваться. Можно сделать вывод, что сумма котангенсов имеет наименьшее значение при π/4. Это легко проверить.

Представим прямоугольный треугольник. Котангенс острого угла - отношение прилежащего катета к противолежащему. Тангенс - отношение противолеж. к прилежащему. ctg π/4 = tg π/4 = 1.

Минимальная сумма ctg и tg - равна 2.

ctg α = 1 : tg α

Допустим, что ctg α = 4, тогда tg α = 1/4=0,25 , tg α + ctg α = 4;

уменьшим в 2 раза значение ctg α;

ctg α=2, tg α=1/2=0,5 , tg α + ctg α = 2,5

Продолжая уменьшение в 2 раза мы придём сначала к единице, а после, уменьшая значение tg или ctg, т.е. делая его не равным 1, мы увидим суммы, которые стремятся к бесконечности.

Итак, у нас есть 2 значения, равных нулю и 2 равных единице. Получаем результат, 2.

2 - это минимальная сумма.

Более ясного и правильного обоснования ответа дать не могу.