Упростим выражение:
(6*4ⁿ+1)/(3*2ⁿ+1)-2⁽ⁿ⁺¹⁾=(6*2²ⁿ+1)/(3*2ⁿ+1)-2*2ⁿ.
Пусть 2ⁿ=t. ⇒
(6t²+1)/(3t+1)-2t=(6t²+1-2t*(3t+1))/(3t+1)=(6t²+1-6t²-2t)/(3t+1)=(1-2t)/(3t+1)=
=(1-2*2ⁿ)/(3*2ⁿ+1). ⇒
lim(x→∞) (1-2*2ⁿ)/(3*2ⁿ+1)
Разделим одновременно числитель и знаменатель на 2ⁿ:
lim(x→∞)(1/2ⁿ-(2*2ⁿ/2ⁿ))/(3*2ⁿ/2ⁿ+1/2ⁿ)=(0-2)/(3+0)=-2/3.