(( 2х – 3 ) ( х+2 )) / ( х – 6 ) ≤ 0;
Применим метод интервалов. Найдем корни уравнения, заменив частное в выражении, произведением:
( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) = 0;
Найдем корни уравнения.
Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Приравняем каждый сомножитель к нулю:
2х – 3 = 0;
2х = 3;
х = 3 : 2;
х1 = 1,5;
х + 2 = 0;
х2 = -2;
х – 6 = 0;
х3 = 6;
На координатной прямой найдем точки с координатами -2; 1,5; 6, которые расположатся слева направо.
Получим интервалы (- ∞; -2);(-2; 1,5); (1,5; 6) и (6; + ∞).
Чтобы определить знак неравенства на каждом из интервалов, возьмем какое-либо число из крайнего правого промежутка.
Например, 10. При х = 10, ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) > 0;
Тогда знаки последующих интервалов будет чередоваться:
При х ∈ (1,5; 6), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) < 0;
При х ∈ (-2; 1,5), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) > 0;
При х ∈ ( - ∞; -2), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) < 0;
Выберем те промежутки, где неравенство меньше нуля. Т.к. неравенство нестрогое, тогда неравенство верно при х ∈ ( - ∞; -2] ∪ [1,5; 6].
Ответ: ( - ∞; -2] ∪ [1,5; 6].