Разложить функцию в ряд Фурье. f(x)=xcosx, x принадлежит (-п, п).

Question 1

Разложить функцию в ряд Фурье.
f(x)=xcosx, x принадлежит (-п, п).

Question 2

Функция $f(x)=x\cdot cosx$ нечётная, т.к.

$f(-x)=-x\cdot cos(-x)=-x\cdot cosx==-f(x)$ ,

поэтому коэффициенты ряда Фурье $a_0=0\; ,\; \; a_{n}=0$ .

Вычислим $b_{n}$ .

$b_{n}=\frac{2}{\pi }\int\limits^{\pi }_0\, f(x)\cdot sin\, nx\, dx=\frac{2}{\pi }\int\limits^{\pi }_0\, x\cdot cosx\cdot sin\, nx\, dx=\\\\=\frac{2}{\pi }\int\limits^{\pi }_0\, x\cdot \frac{1}{2}\Big (sin(n+1)x+sin(n-1)x\Big )dx=\\\\=\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_0 x\cdot sin(n+1)x\cdot dx +\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_0x\cdot sin(n-1)x\cdot dx\; ;\\\\\\\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_0x\cdot sin(n+1)x\cdot dx=[\, u=x,\; du=dx,\; dv=sin(n+1)x\cdot dx,\\\\v=-\frac{1}{n+1}\cdot cos(n+1)x\; ]=$

$=\frac{1}{\pi }\cdot \Big (-\frac{x}{n+1}\cdot cos(n+1)x\Big |_0^{\pi }-\frac{1}{n+1}\int\limits^{\pi }_0cos(n+1)x\cdot dx\Big )=\\\\=\frac{1}{\pi }\cdot \Big (-\frac{\pi }{n+1}\cdot cos\, \pi (n+1)-\frac{1}{(n+1)^2}\cdot sin(n+1)x\Big |_0^{\pi }\Big )=\\\\=\frac{1}{\pi }\cdot \Big (-\frac{\pi}{n+1}\cdot (-1)^{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}\cdot \underbrace {sin\, \pi (n+1)}_{0}\Big )=\\\\=-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\frac{(-1)^{n+2}}{n+1}\; ;$

$\frac{1}{\pi }\int\limits^{\pi }_0\, x\cdot sin(n-1)x\cdot dx=[u=x,\; du=dx,\; v=-\frac{1}{n-1}\cdot cos(n-1)x]=\\\\=\frac{1}{\pi }\cdot \Big (-\frac{x}{n-1}\cdot cos(n-1)x\Big |_0^{\pi }+\frac{1}{n-1}\int \limits _0^{\pi }cos(n-1)x\cdot dx\Big )=\\\\=\frac{1}{\pi }\cdot \Big (-\frac{\pi }{n-1}\cdot cos\, \pi (n-1)+\frac{1}{(n-1)^2}\cdot sin(n-1)x\Big |_0^{\pi }\Big )=\\\\=-\frac{1}{n-1}\cdot (-1)^{n+1}=\frac{(-1)^{n+2}}{n-1}\; ;\\\\b_{n}=\frac{(-1)^{n+2}}{n+1}+\frac{(-1)^{n+2}}{n-1}=(-1)^{n+2}\cdot \frac{2n}{n^2-1}$

$f(x)\sim \sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+2\cdot }\frac{2n}{n^2-1}\cdot sin\, nx\\\\\\\star \; \; cos\, \pi (n\pm 1)=cos(\pi n\pm \pi )=cos\pi n\cdot cos\pi \mp sin\pi n\cdot sin\pi =\\\\=(-1)^n\cdot (-1)\mp 0=(-1)^{n+1}$