Помогите, пожалуйста! Прямая y=-6x-10 является касательной к графику функции...

y=-6x-10 - касательная ⇒ y'(Xo)=-6, где Xo - абсцисса точки касания.

y'= 3x²+8x-6

Для нахождения абсциссы точки касания решаем уравнение:

3x²+8x-6 = -6

3x²+8x = 0

х=0 или х=-8/3

Т.к. точка касания - общая точка графиков прямой у=f(x)=-6х-10 и кривой у=g(x)=х³+4х²-6х-10, то в данной точке эти функции должны иметь равные значения:

1) при х=0 ⇒ f(0) = -10; g(0)=-10 ⇒ f(0) = g(0) и х=0 - абсцисса точки касания.

$2)\ npu\ x=-\frac{8}{3} \Rightarrow f(-\frac{8}{3}) = -6*(-\frac{8}{3})-10=6\\ g(-\frac{8}{3})=(-\frac{8}{3})^3+4(-\frac{8}{3})^2-6*(-\frac{8}{3})-10 \neq -6$

Значит, $x= -\frac{8}{3}$ - не является абсциссой точки касания.

Ответ: 0.