При каком значении a система неравенств имеет единственное решение

первое выражение ≥1, второе ≤ 1.

Эта система будет иметь решение, только если оба этих выражения будут РАВНЫ 1 !

$\left\{\begin{matrix} \frac{3}{x-a}=1 \\ |x-2a-2|=1\\\end{matrix}\right.$

Выражаем из первого х:

$\frac{3}{x-a}=1\\ \\ x-a=3 \\ x=a+3$

и подставляем во второе:

$|x-2a-2|=1 \\ |a+3-2a-2|=1 \\ |1-a|=1 \\ \\ \begin{bmatrix} 1-a=1 \\ 1-a=-1 \end{matrix} \\ \\ a_1=0 \\ a_2=2$

Остается проверить, при каком из полученных параметров будет одно решение:

1) a=0

_x \\ 1\leq x\leq 3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x \in [1;3] " alt=" \left\{\begin{matrix} \frac{3}{x}\geq1\\ |x-2|\leq1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3}{x}-1\geq 0\\ -1\leq x-2\leq1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3-x}{x}\geq 0 \\ 1\leq x\leq 3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ---(0)+++[3]--->_x \\ 1\leq x\leq 3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x \in [1;3] " align="absmiddle" class="latex-formula">

Не удовлетворяет условию!

2) a=2

_x \\ 51\leq x\leq 7 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x \in \{5\} " alt=" \left\{\begin{matrix} \frac{3}{x-2}\geq1\\ |x-4-2|\leq1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3}{x-2}-1\geq 0\\ -1\leq x-6\leq1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{5-x}{x-2}\geq 0 \\ 5\leq x\leq 7 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ---(2)+++[5]--->_x \\ 51\leq x\leq 7 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x \in \{5\} " align="absmiddle" class="latex-formula">

ОТВЕТ: a=2