В угол вписаны две окружности. Точки A и B — точки касания первой окружности, точки и —...

Question

В угол вписаны две окружности. Точки A и B — точки касания первой окружности, точки и — точки касания второй окружности (см. рисунок). Отрезок пересекает эти окружности в точках и . Докажите, что .

С полным доказательством, пожалуйста.

---

Answer 1

Есть теорема-

Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

По ней AA1^2=C1B1*AC1 -для большой окружности

и BB1^2=B1C*AC-для малой

Так как BB1=AA1-приравниваю и правые части равенств

С1B1*AC1=B1C*AC

C1B1*(AC+CC1)=(CC1+C1B1)*AC

C1B1*AC+C1B1*CC1=CC1*AC+C1B1*AC

следует С1B1=AC

Comments

Спасибо большое!

---

Только теорема обычно формулируется как (AA_1)^2=AC_1 * AB_1. В данном случае эти формулировки равносильны, я проверил, но в других случаях, мне кажется, могла получиться ошибка.

---

Ведь AC_1 * AB_1 ≠ AC_1 * C_1B_1 <=> AB_1 ≠ C_1B_1

---

ложка дегтя в бочке меда...

---

В математике ложка дёгтя вполне может испортить целиком все вычисления ;)