Соs15 - sin15 ——— —— Sin15 Cos15 Решить (упростить выражение )

Question

Дан 1 ответ

zaharovmfrk2001_zn · Answer 1 · 2018-09-09T14:32:27+0000

$\frac{\cos15 - \sin15}{ \sin15\cos15 }$
знаменатель можно представить как
$\frac{2 \sin15 \cos15}{2}$
по сути тоже самое, но теперь его можно преобразовать по формуле синуса двойного угла
$\frac{ \sin30}{2}$
теперь всё выражение примет вид
$\frac{2( \cos15 - \sin15)}{ \sin30 }$
так как синус 30 табличное значение не будем трогать его, а нынешний числитель преобразуем
$cos15=cos(90-75)=sin75=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45 = (\frac{1}{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} ) + ( \frac{ \sqrt{3} }{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} )$
$\frac{ \sqrt{2} }{4} + \frac{ \sqrt{6} }{4} = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4}$
$sin15=sin(90-75)=cos75=cos(30+45)=cos30cos45-sin30sin45=( \frac{ \sqrt{3} }{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} ) - ( \frac{1}{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} )$
$\frac{ \sqrt{6} }{4} - \frac{ \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}$
подставляем полученные выражения к друг другу
$\frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} - ( \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4} )$
$\frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}$
$\frac{2 \sqrt{2} }{4}$
$\frac{ \sqrt{2} }{2}$
возвращаемся к самому началу
$\frac{2( \frac{ \sqrt{2} }{2} )}{ \sin30}$
$\frac{ \sqrt{2} }{ \frac{1}{2} }$
ответ :
$2 \sqrt{2}$