Помогите решить уравнение. sin4 2x + cos4 2x = 5/8 В ответе указать ( в градусах) число...

Question 1

Помогите решить уравнение.
sin4 2x + cos4 2x = 5/8

В ответе указать ( в градусах) число корней на промежутке [0; 180] градусов.

Question 2

Sin⁴2x+cos⁴2x=5/8
(sin²2x+cos²2x)-2*sin²2x*cos²2x=5/8
1-(sin²4x)/2=5/8
2-sin²4x=5/4
sin²4x=2-5/4
sin²4x=3/4
(1-cos8x)/2=3/4
1-cos8x=3/2
cos8x=1-3/2
cos8x=-1/2
8x=±2π/3+2πk
x=±π/12++πk/4
x=±15°+45°k
0≤x≤180°
0≤15°+45°k≤180°
-15°≤45°k≤165°
-1/3≤k≤3,7
k={0;1;2;3;}
x={15°;60°;105°;150°}
0≤-15°+45k≤180°
15°≤45°k<195°<br>1/3≤k≤4,3
k={1;2;3;4}
x={30°;75°;120°;165°}
ответ 8 корень

Question 3

Пусть 2x = t ⇒ $\sin^4 t + \cos^4 t = \frac{5}{8}$

Используем формулы понижения степени

$(\frac{1-\cos2t}{2} )^{^2} + (\frac{1+\cos2t}{2} )^{^2}=\frac{5}{8} \\ \frac{1-2\cos2t+\cos^22t+1+2\cos2t+\cos^22t}{4} =\frac{5}{8} \\ \frac{2+2\cos^22t}{4} =\frac{5}{8} \\ 4+4\cos^22t=5\\ 4\cos^22t=1\\ 4*\frac{1+\cos4t}{2}=1\\ \cos4t=-\frac{1}{2} \\ 4t =б\ \frac{2\pi}{3} +2\pi k,\ k \in Z\\ 8x= б\ \frac{2\pi}{3} +2\pi k,\ k \in Z\\ x= б\ \frac{\pi}{12} +\frac{\pi k}{4},\ k \in Z$

Для отбора корней на [0°; 180°] запишем в градусах: х = ±15°+45°k, k∈Z.

1) 15°+45°k, k∈Z ⇒ k=0;1;2;3 - 4 корня

2) -15°+45°k, k∈Z ⇒ k=1;2;3;4 - 4 корня

Итого 8 корней на [0°; 180°]

Ответ: 8

армения20171_zn · Answer 1 · 2018-09-09T16:35:02+0000

Sin⁴2x+cos⁴2x=5/8
(sin²2x+cos²2x)-2*sin²2x*cos²2x=5/8
1-(sin²4x)/2=5/8
2-sin²4x=5/4
sin²4x=2-5/4
sin²4x=3/4
(1-cos8x)/2=3/4
1-cos8x=3/2
cos8x=1-3/2
cos8x=-1/2
8x=±2π/3+2πk
x=±π/12++πk/4
x=±15°+45°k
0≤x≤180°
0≤15°+45°k≤180°
-15°≤45°k≤165°
-1/3≤k≤3,7
k={0;1;2;3;}
x={15°;60°;105°;150°}
0≤-15°+45k≤180°
15°≤45°k<195°<br>1/3≤k≤4,3
k={1;2;3;4}
x={30°;75°;120°;165°}
ответ 8 корень