X*y=64. Найти такие числа чтобы их сумма была max

чтобы найти наибольшее значение выражения х+у, составим функцию f(x)=x+y

и исследуем ее на экстремумы :

$x*y=64 \\ y=\frac{64}{x} \\ \\ f(x)=x+y \\ f(x)=x+\frac{64}{x} \\ \\ f'(x)=1-\frac{64}{x^2} =0\\ \\ \frac{x^2-64}{x^2} =0 \\ \\ \frac{(x-8)(x+8)}{x^2} =0$

далее точки экстремума находятся методом интервалов:

Корни числителя: 8; -8

Корни знаменателя: 0; 0 (в знаменателе стоит x², значит здесь два РАВНЫХ корня)

_x " alt=" +++[-8]----(0)----[8]+++>_x " align="absmiddle" class="latex-formula">

-8 - точка максимума

8- точка минимума

наибольшее значение выражения при x<0</strong>

$x+y=x+\frac{64}{x} =-8+\frac{64}{-8=-16}$

Если x>0, то максимального значение нет (максимальное значение x+y стремится к бесконечности)