Введём трёхмерную систему координат с началом в точке В таким образом, что ось Х совпадает с ребром ВА, ось Y -- с ребром ВС, ось Z -- с ребром ВВ₁.
Длину ребра куба положим равной 12 (12 делится нацело и на 3, и на 4), чтобы не только вершины куба, но и точки M и N имели целочисленные координаты.
Определим координаты точек M, N, A и С₁:
M (12; 0; 8), N (0; 9; 0), A (12; 0; 0), С₁ (0; 12; 12).
Определим координаты векторов MN и AС₁:
MN (-12; 9; -8), AС₁ (-12; 12; 12).
cos φ = MN·AС₁ / |MN|·|AС₁| = -12·(-12)+9·12-8·12 / √((-12)²+9²+(-8)²)·√((-12)²+12²+12²) = 12·13 / 17·12√3 = 13/17√3 = 13√3/51
