Самое разумное, это воспользоваться методом рационализации:
log_{x+2}(x+1) \\ \\ (log_{0,5}(x+2)-0)(log_2(x+1)-0)>log_{x+2}(x+1)-0 \\ \\ (log_{0,5}(x+2)-log_{0,5}1)(log_2(x+1)-log_21)>log_{x+2}(x+1)-log_{x+2}1 \\ \\ (0.5-1)(x+2-1)(2-1)(x+1-1)>(x+2-1)(x+1-1) \\ \\ -0.5(x+1)x>(x+1)x \\ \\ -0.5(x+1)x-(x+1)x >0 \\ \\ -1.5(x+1)x>0 \\ \\ (x+1)x<0 \\ \\ +++(-1)----(0)+++++>_x \\ \\ x \in (-1;0) " alt=" log_{0,5}(x+2)*log_2(x+1)>log_{x+2}(x+1) \\ \\ (log_{0,5}(x+2)-0)(log_2(x+1)-0)>log_{x+2}(x+1)-0 \\ \\ (log_{0,5}(x+2)-log_{0,5}1)(log_2(x+1)-log_21)>log_{x+2}(x+1)-log_{x+2}1 \\ \\ (0.5-1)(x+2-1)(2-1)(x+1-1)>(x+2-1)(x+1-1) \\ \\ -0.5(x+1)x>(x+1)x \\ \\ -0.5(x+1)x-(x+1)x >0 \\ \\ -1.5(x+1)x>0 \\ \\ (x+1)x<0 \\ \\ +++(-1)----(0)+++++>_x \\ \\ x \in (-1;0) " align="absmiddle" class="latex-formula">
Ну и конечно, проверяем ОДЗ:
0 \\ x+1>0 \\x+2 \neq 1 \end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix} x>-2 \\ x>-1 \\ x\neq -1 \end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ x>-1 " alt=" \left\{\begin{matrix} x+2>0 \\ x+1>0 \\x+2 \neq 1 \end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix} x>-2 \\ x>-1 \\ x\neq -1 \end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ x>-1 " align="absmiddle" class="latex-formula">
