ОДЗ: x > 0, x - 3a > 0.
Приводим все логарифмы к одинаковому основанию по формуле 
:
Переписываем логарифм частного как разность логарифмов и раскрываем квадрат разности:
Получили разность квадратов. Раскладываем на множители:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит, уравнение выше на ОДЗ эквивалентно совокупности двух уравнений:
Перед тем, как идти дальше, хочется отметить, что если x > 0, то из равенств выше автоматически x - 3a > 0. Значит, при отборе корней можно будет проверить только неравенство x > 0, второе неравенство из ОДЗ будет выполнено, если выполнено первое.
Решаем дальше:
– первое уравнение совокупности:
x - 3a = x
3a = 0
a = 0
Если a = 0, то решение – x ∈ R (с учетом ограничений ОДЗ x > 0)
– второе уравнение совокупности:
0\\ x-1.5a=\pm\sqrt{2.25a^2+1}\\ x=1.5a\pm\sqrt{2.25a^2+1} " alt=" x-3a=\dfrac1x\\ x(x-3a)=1\\ ((x-1.5a)+1.5a)((x-1.5a)-1.5a)=1\\ (x-1.5a)^2-2.25a^2=1\\ (x-1.5a)^2=2.25a^2+1>0\\ x-1.5a=\pm\sqrt{2.25a^2+1}\\ x=1.5a\pm\sqrt{2.25a^2+1} " align="absmiddle" class="latex-formula">
Нужно проверить, при каких a найденное решение удовлетворяет ОДЗ.
1) 
0 " alt=" x=1.5a+\sqrt{2.25a^2+1}>0 " align="absmiddle" class="latex-formula">
-1.5a " alt=" \sqrt{2.25a^2+1}>-1.5a " align="absmiddle" class="latex-formula">
Если a > 0, неравенство выполняется: левая часть положительна, правая отрицательная.
Пусть a < 0, тогда обе части неравенства положительны, можно возвести в квадрат
2.25a^2\\ 1>0 " alt=" 2.25a^2+1>2.25a^2\\ 1>0 " align="absmiddle" class="latex-formula">
Это неравенство выполнено также при всех a.
2) 
Аналогично первому корню, можно проверить, что этот корень отрицательный при всех a, и поэтому не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: все x > 0 при a = 0, 
при a ≠ 0.