При каком значении параметра а сума квадратов корней уравнения х^2+(а-4)х-2а-1=0...

$x^2+(a-4)x-2a-1=0$

По теореме Виета

$x_1+x_2=4-a\\ (x_1+x_2)^2=(4-a)^2\\ x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=16-8a+a^2\\ x_1^2+x_2^2=16-8a+a^2-2x_1x_2$

по теореме Виета

$x_1x_2=-2a-1 \ \Rightarrow \ -2x_1x_2=4a+2$

тогда

$x_1^2+x_2^2=a^2-4a+18$

Рассмотрим график функции

$y=a^2-4a+18$

это парабола, ветви вверх ⇒ наименьшее значение функции достигается в вершине

$a_0=\dfrac{4}{2}=2$

Ответ: 2