1)Никем непроверенный маршрут- потому что это одно слово, если б было ни с кем, то писалось бы раздельно
2) Недостаёт терпения- потому что мы не можем сказать "достаёт терпения"
3)Негромко всхлипнула- потому что это наречие, а если нет пяти слов и а, то всегда пишется с НЕ слитно
4)Недорогой, а красивый ситец- потому что нет противопоставления.