Решить корни найти там просто найдите я сам просуммирую

tg(14п/3)+sin(4x)=√3cos(4x)

sin(4x)-√3=√3cos(4x)

sin(4x)-√3cos(4x)=√3

Сгруппируем уравнение:

2((1/2)sin(4x)-(√3/2)cos(4x))=√3

2(cos(п/3)sin(4x)-sin(п/3)cos(4x))=√3

Используем формулу:

sin(t)cos(s)-cos(t)sin(s)=sin(t-s)

2sin(4x-п/3)=√3

sin(4x-п/3)=√3/2

тогда

4x-п/3=п/3+2пk, x=п/6+пk/2, k∈Z

4x-п/3=2п/3+2пk, x=п/4+пk/2, k∈Z

Решения нашли.

Теперь отбираем корни на (-п/4;п).

Отберем корни с помощью неравенства:

-п/4<п/6+пk/2<п

-п/4-п/6<пk/2<п-п/6

-5п/12<пk/2<5п/6

-5<6k<10 => k=1

Тогда x=п/6+п/2=2п/3

x=п/4+п/2=3п/4

-п/4<п/4+пk/2<п

-п/4-п/4<пk/2<п-п/4

-п/2<пk/2<3п/4

-2<2k<3 => k=0, k=1

Тогда x=п/6, x=п/4

И то же самое, что получили прежде.

Ответ: промежутку (-п/4;п) принадлежать корни п/6, п/4, 2п/3, 3п/4.

$tg\frac{14\pi}{3} +\sin 4x=\sqrt{3} \cos 4x\\ tg(5\pi -\frac{\pi}{3})+\sin 4x-\sqrt{3} \cos 4x=0 \\ -\sqrt{3} +\sin 4x-\sqrt{3} \cos 4x=0\\ \sin4x-\sqrt{3} \cos4x=\sqrt{3}$

Согласно формуле дополнительного угла, а именно:

$a \sin x\pm b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$ имеем

$\sqrt{1^2+(\sqrt{3} )^2}\sin(4x-\arcsin\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{1^2+(\sqrt{3} )^2}} ) =\sqrt{3} \\ \\ \sin(4x-\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3} }{2} \\ 4x-\frac{\pi}{3}=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{3}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{4},k \in \mathbb{Z}$

Найдем теперь корни принадлежащие $(-\frac{\pi}{4};\pi )$

$k=0;~ x= \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6} \\ k=1;~ x=- \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi}{4}\\ k=2;~ x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{4\pi}{6} =\frac{2\pi}{3}$

$k=3;~ x=- \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}+ \frac{3 \pi }{4} = \frac{3 \pi }{4}$