Высота правильного тетраэдра Н = а√2/√3 = 10√6*√2/√3 = 20.
Проекция апофемы на основание равна (1/3)h = (1/3)*(a√3/2) =
= (1/3)*(10√6*√3/2) = 5√2.
Тангенс угла α наклона боковой грани к основанию равен 20/(5√2) =4/√2 =
= 2√2.
Центр вписанного шара находится на биссектрисе этого угла.
То есть, надо найти тангенс половинного угла.
Используем универсальную подстановку, приняв тангенс половинного угла за t.
tg α = 2t/(1 - t²).
Выразим отсюда t через tg α.
Получаем квадратное уравнение tg α*t + 2t - tg α = 0.
Подставив tgα = 2√2, получим 2√2*t + 2t - 2√2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t:
Ищем дискриминант:
D=2^2-4*2*√2*(-2*√2)=4-4*2*√2*(-2*√2)=4-8*√2*(-2*√t2)=4-(-8*√2*2*√2)=4-(-16*√2*√2)=4-(-16*(√2)^2)=4-(-16*2)=4-(-32)=4+32=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√36-2)/(2*2*√2)=(6-2)/(2*2*√2)=4/(2*2*√2)=4/(4*√2) = 4/4/√2 = 1/√2 ≈ 0.7071068;
t_2=(-√36-2)/(2*2*√2)=(-6-2)/(2*2*√2)=-8/(2*2*√2)=-8/(4*√2) = -8/4/√2=-2/2root2 ≈ -1.4142136.
Принимаем положительное значение tg(α/2) = 1/√2.
Получаем ответ: R = 5√2*(1/√2) = 5.