Найти sin x - cos x, если sin x + cos x = 1/2

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\sin x+\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow (\sin x+\cos x)^2=\frac{1}{4};\ \sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=\frac{1}{4};$

$1+\sin 2x=\frac{1}{4};\ \sin 2x=-\frac{3}{4};$

$(\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x=1-\sin 2x=1+\frac{3}{4}= \frac{7}{4};\\\sin x-\cos x=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$

Осталось доказать, что реализуются оба случая. Ясно, что x не может лежать в первой четверти, поскольку там синус и косинус положительны, поэтому сумма синуса и косинуса больше суммы квадратов синуса и косинуса, которая равна 1. Ясно что x не может лежать в третьей четверти, поскольку там синус и косинус отрицательны - поэтому их сумма будет отрицательной. Во второй четверти x может лежать. В самом деле, если x равен 90 градусов, то сумма синуса и косинуса равна 1, а если x равен 180 градусов, то сумма синуса и косинуса равна минус 1. Значит, есть промежуточная точка, где сумма синуса и косинуса равна 1/2. Разность же их будет положительна, так как там синус положителен, а косинус отрицателен. Аналогичное рассуждение показывает, что и в четвертой четверти найдется x такой, что сумма синуса и косинуса равна 1/2. Разность же их будет отрицательна, так как в этой четверти синус отрицательный, а косинус положительный.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$

yugolovin_zn (63.9k баллов) 10 Сен, 18