Сумма S существует и конечна. Найдите ее.

$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$

для x в промежутке (-1,1), так как при таких х это будет убывающая геометрическая прогрессия.

Продифференциировав такой ряд получим

$( \sum_{n=0}^\infty x^n)' = \sum_{n=0}^\infty (x^n)' = \sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}= (\frac{1}{1-x} )' = \frac{1}{(1-x)^2}$

Домножим левую часть на х и 1\x, получим

$\frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty nx^n = \frac{1}{(1-x)^2} \\ \\ \sum_{n=0}^\infty nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$

-1\3 попадает в промежуток (-1,1), так что -1\3 можно подставить в наше выражение:

$\sum_{n=0}^\infty n(-\frac{1}{3})^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{n}{3^n} = -\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\frac{n}{3^n} = \\ \\ =-\frac{-\frac{1}{3}}{(1-(-\frac{1}{3}))^2} =-( -\frac{1}{3} * \frac{9}{16}) = \frac{3}{16}$