Тригонометрия, если можно поподробней, заранее спасибо

По формуле дополнительного угла:

$a \sin (kx) \pm b\cos (kx)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(kx\pm\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} )$

$\sqrt{1^2+1^2} \sin(\frac{x}{2} +\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} )=-1\\ \\ \sqrt{2}(\sin \frac{x}{2} +\frac{\pi}{4})=-1\\ \sin(\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \frac{x}{2} +\frac{\pi}{4} =(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \frac{x}{2} =(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}$