Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона а основания равна 3, а боковое ребро L = √10.
Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h, где h = a√3/2.
AO = (2/3)*(3√3/2) = √3.
Отсюда находим высоту пирамиды:
Н = √(L² - (√3)²) = √(10 - 30 = √7.
Высота точки М от основания равна половине высоты пирамиды, то есть √7/2.
Находим проекцию отрезка АМ на основание (это АМ1) по теореме косинусов из треугольника АОМ1. Точка О основание высоты SO.
АМ1 = √((√3)² + (√3/2)² - 2*√3*(√3/2)*(-1/2)) = √21/2.
Здесь (-1/2) это косинус угла 120°.
Определяем тангенс искомого угла α:
tg α = (√7/2)/(√21/2) = 1/√3.
Ответ: угол α = 30 градусов.