........................

Пусть β = 60°, тогда α = 90° - 60° = 30°; Гипотенуза c=12 см.

Против угла 30° катет а в два раза меньше за гипотенузу, то есть a=6см

b = c*sin60° = 12*√3/2 = 6√3 см

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: $c_a=\frac{a^2}{c}=\frac{6^2}{12}= 3\\ c_b=\frac{b^2}{c}=\frac{6^2\cdot3}{12}=9~~~~-\max$

Ответ: 9 см.