Пожалуйста, решите неравенство

$log_{x + 1}(2 {x}^{2} - 3x + 1 ) \leqslant 2 \\$
__________________________

О.Д.З. :

0 \\ x > - 1 \\ " alt="1) \: x + 1 > 0 \\ x > - 1 \\ " align="absmiddle" class="latex-formula">
2) х + 1 ≠ 1
х ≠ 0

0 \\ (x - \frac{1}{2} )(x - 1) > 0 \\ " alt="2 {x}^{2} - 3x + 1 > 0 \\ (x - \frac{1}{2} )(x - 1) > 0 \\ " align="absmiddle" class="latex-formula">
Решим методом интервалов:

+++++++°( 1/2 )-----------°( 1 )+++++++++> х

х € ( - ∞ ; 1/2 ) U ( 1 ; + ∞ )

Объединяем ОДЗ и получаем:

Х > 1
__________________________
$log_{x + 1}(2 {x}^{2} - 3x + 1) \leqslant log_{x + 1}( {x + 1)}^{2} \\$

Воспользуемся методом рационализации:

log(a)_b - log(a)_ c v 0

( a - 1 )( b - c ) v 0

$(x + 1 - 1)(2 {x}^{2} - 3x +1 - ( {x}^{2} + 2x + 1)) \leqslant 0 \\ \\ x( {x}^{2} - 5x) \leqslant 0 \\ \\ {x}^{2} (x - 5) \leqslant 0 \\$
Решим методом интервалов:

--------•[ 0 ]-----------•[ 5 ]+++++++++> х

Х ≤ 5

Объединяем решение данного логарифмического неравенства и найденное ОДЗ:

Получаем промежуток: Х € ( 1 ; 5 ]

ОТВЕТ: ( 1 ; 5 ]