Найдите , если

$2 \sin(3x) \cos(5x) = \frac{1}{2} + \sin(8x) \\$

Воспользуемся формулой:

$\sin( \alpha ) \times \cos( \beta ) = \frac{1}{2} ( \sin( \alpha - \beta ) + \sin( \alpha + \beta ) \\$

$2 \times \frac{1}{2} ( \sin(8x) - \sin(2x) ) = \frac{1}{2} + \sin(8x) \\ \\ \sin(8x) - \sin(2x) = \frac{1}{2} + \sin(8x) \\ \\ \sin(2x) = - \frac{1}{2} \\$

Прибавим к обеим частям + 1 :

$1 + \sin(2x) = \frac{1}{2} \\ \\ { (\sin(x)) }^{2} + { (\cos(x)) }^{2} + 2 \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \\ \\$

Разделим обе части на sin²x : sinx ≠ 0

${(ctgx)}^{2} + 1 + 2ctgx = \frac{1}{2 {( \sin(x) )}^{2} } \\$

Воспользуемся формулой :

${(ctgx)}^{2} + 1 = \frac{1}{ {( \sin(x)) }^{2} } \\$

Разделим обе части на 2 :

$\frac{ {(ctgx)}^{2} + 1}{2} = \frac{1}{2 {( \sin(x)) }^{2} } \\$

${(ctgx)}^{2} + 2ctgx + 1 = \frac{ {(ctgx)}^{2} + 1 }{2} \\ \\ {(ctgx)}^{2} + 4ctgx + 1 = 0 \\$

Введем замену:

Пусть ctgx = t

${t}^{2} + 4t + 1 = 0 \\ \\ t = - 2 - \sqrt{3} \\ t = - 2 + \sqrt{3} \\$

$ctgx = - 2 + - \sqrt{3} \\$

ОТВЕТ: - 2 - √3 ; - 2 + √3