В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=2 дм АD=3корень из 2дм уголBAD=45° B1D= корень...

Площадь поверхности = сумма площадей каждой грани.

Рассмотрим основание параллелепипеда:

параллелограмм со сторонами 2 и $3\sqrt{2}$

По теореме косинусов находим BD: $BD^{2} = 2^{2} + (3\sqrt{2}) ^{2} -2*2*3\sqrt{2}* cos(45) \\ BD^{2} = 4+18-12 \sqrt{2} * (\sqrt{2}/2) \\ BD^{2} =10 \\ BD= \sqrt{10}$

В прямоугольном треугольнике $BB_1D$ по теореме Пифагора $BB_1= \sqrt{19-10} =\sqrt{9}=3$

Грани $AA_1B_1B= DD_1C_1C$ , $BB_1C_1C= AA_1D_1D$ , $ABCD=A_1B_1C_1D_1$ .

Найдем площадь каждой грани.

$S_{AA_1B_1B}=2*3=6 \\ S_{BB_1C_1C}=3*(3\sqrt{2}) =9\sqrt{2}$ .

Для нахождения площади параллелограмма, лежащего в основании параллелепипеда найдем высоту: из вершины B проведем высоту BH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: $BH=2* sin(45)=2* (\sqrt{2}/2) =\sqrt{2}$ .

$S_{ABCD}= 3\sqrt{2} * \sqrt{2} = 6$ .

Найдем площадь полной поверхности:

$S= 2* S_{AA_1B_1B}+ 2*S_{BB_1C_1C} + 2* S_{ABCD}= \\ =2*6 + 2* 9\sqrt{2} +2*6= 24+18\sqrt{2}$