При каких значениях параметра а уравнение имеет два разных действительных корня?

Question

При каких значениях параметра а уравнение имеет два разных действительных корня?

---

Answer 1

Пусть при этом t>0. Получим

(*)

Чтобы корни существовали необходимо чтоб дискриминант квадратного уравнения > 0

0\\ a>-1.25 " alt=" D=(2a+1)^2-4(a^2-1)=4a^2+4a+1-4a^2+4=4a+5>0\\ a>-1.25 " align="absmiddle" class="latex-formula">

То есть, при a>-1.25 квадратное уравнение (*) имеет два различных корня, а именно два положительных или два отрицательных или один положительный и один отрицательный. Нам подходит один положительный и один отрицательный, ведь, возвращаясь к обратной замене, x^2=t если t>0 то уравнение примет два различных корня,а если t<0 то уравнение решений не имеет.</p>

Из теоремы Виета: откуда

Общее решение неравенств -1.25}} \right. ~~\Rightarrow~~~ -1-1.25}} \right. ~~\Rightarrow~~~ -1

Проверим теперь D=0 (имеет единственный корень) т.е. 4a+5=0 откуда а=-1,25 и подставляем в уравнение (*), получим:

Корень t=-3/4<0 не подходит</p>
Если a=1, то уравнение имеет два корня: x=0 и x=3
Если a = -1, то уравнение имеет два корня: x=-1 и x=0

Ответ:

Answer 2

Ошибка в решении, см. ниже

Comments

Здесь не соглашусь. D>0 - уравнение имеет два различных корня что может быть так и отрицательным так и положительным. Представьте что t1 и t2 положительные, x^2=t1 и x^2=t2 примут 4 значения

---

а=-1 - уравнение имеет один корень х=0 )

---

Также при а=1 имеет три корня

---

да, ошибка, забыл что решал для новой переменной и не проверил ограничения