Найти общее решение дифференциального уравнения. a)2y''+3y'+ y=0 б)y''+4y'+8y=0...

а) Это однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Перейдем к характеристическому уравнению, сделав замену $y=e^{kx}$

$2k^2+3k+1=0\\$

Решая как квадратное уравнение, получим $k_1=-1;~ k_2=-\frac{1}{2}$

Общее решение: $\boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^\big{-\frac{x}{2} }}$

б) Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное.

Пусть $y=e^{kx}$ , получим характеристическое уравнение:

$k^2+4k+8=0\\ (k+4)^2+4=0\\ k+4=\pm2i\\ k=-4\pm 2i$

Общее решение: $\boxed{y=C_1e^{-2x}\cos 2x+C_2e^{-2x}\sin 2x}$

в) Пусть $y=e^{kx}$ получим следующее характеристическое уравнение:

$k^2-6k+9=0\\ (k-3)^2=0\\ k_{1,2}=3$

$k=3$ - корень характеристического уравнения кратности 2

Общее решение: $\boxed{y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}}$