Заметим, что a и a^2 - 1 взаимно просты. Тогда, поскольку 2 должно входить в разложение этих двух чисел на простые множители в нечётной степени, а все остальные простые делители – в чётной, есть два возможных варианта: либо a = m^2 и a^2 - 1 = 2n^2, либо a = 2m^2 и a^2 - 1 = n^2.
1) a = m^2, a^2 - 1 = 2n^2, т.е. m^4 - 1 = 2n^2
(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) = 2n^2
Очевидно, m нечётно. Подставим m = 2a - 1:
2(a - 1) * 2a * 2(2a^2 - 2a + 1) = 2n^2
4(a - 1) a (a(a - 1) + 1) = n^2
n – чётное. Подставляем n = 2b:
(a - 1) a (a(a - 1) + 1) = b^2
Поскольку три множителя в левой части попарно взаимно просты, а их произведение – полный квадрат, то каждый сомножитель – полный квадрат. Но тогда a - 1 и a – полные квадраты, отличающиеся на единицу, таких квадратов в натуральных числах нет.
2) a = 2m^2, a^2 - 1 = n^2
a^2 - n^2 = 1
(a - n)(a + n) = 1
a + n ≤ 1 – так не бывает для натуральных чисел.
Ответ. натуральных решений нет