2(x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+nx^n)

Обозначим $S = 2(x + 2x^2 + 3x^3 + ... + n x^n)$ . Тогда $xS = 2(x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ... + n x^{n + 1})$ . Вычислим $S - xS = (1 - x)S$ :

$\begin{array}{cl}(1 - x)S&= [2x + 2(2x^2 + 3x^3 + \dots + n x^n)] -\\&- [2(x^2 + 2x^3 + 3x^4 + \dots + (n - 1) x^n) + 2n x^{n + 1}]=\end{array} \\=2x+2[(2-1)x^2+(3-2)x^3+\dots+(n-(n-1))x^n]-2nx^{n+1}=\\=2x+2x(x+x^2+x^3+\dots+x^{n-1})-2nx^{n+1}$

В скобках получилась сумма геометрической прогрессии. Используем известную формулу и получаем

$(1-x)S=2x+2x\cdot\dfrac{x^n-x}{x-1}-2nx^{n+1}=2x\left((1-nx^n)+\dfrac{x^n-x}{x-1}\right)\\ S=\dfrac{2x}{1-x}\left(1-nx^n+\dfrac{x^n-x}{x-1}\right) =\dfrac{2x(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1)}{(x-1)^2}$

Эта формула годится для всех x ≠ 1. При x = 1 выражение не определено, сумма выглядит так:

$S=2(1+2+3+\dots +n)$

В этом случае по формуле для суммы арифметической прогрессии

$S=n(n+1)$