Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії якщо а3=14, а10=29

Формула n-ого члена арифметической прогрессии.

$a_n = a_1 + d * (n - 1).$

Составим систему для нахождения первого члена и разности прогрессии.

$\left \{ {{a_1 + d * (3 - 1) = 14,} \atop {a_1 + d * (10 - 1) = 29;}} \right.$

$\left \{ {{a_1 + 2d = 14,} \atop {a_1 + 9d = 29.}} \right.$

Вычтем из второго уравнения системы первое.

$7d = 15,$

$d = \frac{15}{7}.$

Подставим полученное значение d в любое из уравнений.

$a_1 + 2 * \frac{15}{7} = 14,$

$a_1 = 14 - \frac{30}{7},$

$a_1 = \frac{68}{7}.$

Таким образом получаем: $a_1 = \frac{68}{7}, d = \frac{15}{7}.$

Находим сумму 20 первых членов прогрессии.

$S = \frac{2a_1 + d * (n-1)}{2}*n = \frac{2 * \frac{68}{7}+ \frac{15}{7} * (20-1)}{2}*20 = \frac{4210}{7} = 601\frac{3}{7}.$