Найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения...

Если разность корней наибольшая, то и квадрат разности тоже наибольший. Вычислим, чему равен квадрат разности корней этого уравнения (если эти корни существуют):

$(x_1-x_2)^2 =x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2=\\=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\rho)^2-4\cdot3\rho^4=\rho^2(1-12\rho^2)$

Разность квадратов – квадратичная функция относительно ρ², максимальное значение такая функция принимает в вершине, т.е. в точке ρ² = 1/24 = 6/144 ( $\rho=\pm\sqrt{6}/12$ ). Несложно убедиться, что дискриминант совпадает с квадратом разности корней и положителен, поэтому при таких ρ уравнение действительно имеет два корня.

Ответ.

$\rho=\pm\dfrac{\sqrt6}{12}$