Найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения...

Question

Найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x^2+ρx+3ρ^4 наибольшая

Answer 1

Х²+px+3p⁴=0
D=p²-12p⁴>0
12p⁴-p²<0<br>12p⁴-p²=0
p²(12p²-1)=0
p=0;12p²-1=0;p=±√(1/12)=±2√3/12=±√3/6

___+__-√3/6____0_____-___√3/6____+__
x1-x2=?
x1+x2=-p
x1*x2=3p⁴
x1=(-p+√p²-12p⁴)/2
x2=(-p-√(p²-12p⁴)/2
x1-x2=√(p²-12p⁴)>0 ;x1>0;x2>0
p€(-√3/6;√3/6)
y=p²-12p⁴
ymax=?
p=±√1/24

Answer 2

Так как x1,2=(- b±✓D)/(2a)
то разница между корнями будет
х1-х2=✓D/a, то разница будет максимальна при максимальном D

дискриминант D=b²-4ac=p²-4*1*3p⁴=
=p²-12p⁴
Найдем производную D по p
2p-48p³=48p((1/24)-p²)
имеем три точки экстремума
p1=0
p2,3=± 1/(2✓6)

в точках p2,3 максимум функции

D(p1)(см также график)

p=± 1/(2✓6)=±✓6/12

ответ: при p=✓6/12 и при р=-✓6/12

---