Метод математической индукции .
Для n=1
Остаток равен единице .
Пусть верно что остаток один для n=2k+1
Докажем что верно для m=2k+3
(2k+3)^2 = 4k^2 + 12k+9= (2k+1)^2+8k+8
(2k+1)^2 даёт остаток один по нашему предположению
8k+8 делится на 8.
Значит (2k+3)^2 даёт в остатке на 8 один.
Доказано.