Область определения:
{ x + √(3-a) > 0; x > -√(3-a); a <= 3
{ a + 1 - x > 0; x < a + 1
Заметим, что -√(3-a) < 0, так как корень арифметический (неотрицательный).
С учетом обоих неравенств получаем x ∈ (-√(3-a); a+1) < 4
Решаем само уравнение. Сведем все логарифмы к одному основанию 2.
Получаем
Основания логарифмов одинаковы, значит, и выражения равны.
x + √(3 - a) - 3(1 + a) + 3x = 0
4x = 3 + 3a - √(3 - a)
x = [3 + 3a - √(3 - a)] / 4
По области определения
x ∈ (-√(3-a); a + 1)
Решаем систему
{ [3 + 3a - √(3 - a)] / 4 > - √(3 - a)
{ [3 + 3a - √(3 - a)] / 4 < a + 1
Умножаем на 4
{ 3 + 3a - √(3 - a) > -4√(3 - a)
{ 3 + 3a - √(3 - a) < 4a + 4
Оставляем корень с одной стороны
{ 3√(3 - a) > -3a - 3
{ √(3 - a) > -a - 1
Неравенства получились одинаковые.
Так как √(3 - a) > 0, то это неравенство верно при любом a > -1. Но обл. опр. корня: a ≤ 3.
Значит, одна часть ответа: a ∈ (-1; 3]
При a ∈ (-oo; -1] возводим всё неравенство в квадрат.
3 - a > a^2 + 2a + 1
a^2 + 3a - 2 < 0
D = 3^2 - 4*1(-2) = 9 + 8 = 17
a1 = (-3 - √17)/2 < -1 ∈ (-oo; -1]
a2 = (-3 + √17)/2 ≈ 0,56 > -1
Неравенство выполнено при a ∈ (a1; -1] = ((-3-√17)/2; -1]
Ответ: a ∈ ((-3-√17)/2; -1] U (-1; 3] = ((-3-√17)/2; 3]