Решите пожалуйста уравнение 8-9 класса. Буду очень признателен и одарю баллами!

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Рассмотрим функцию $f(x)=x^2+3x-2;$ уравнение имеет вид f(f(x))=x. Если бы f(x) монотонно возрастала, уравнение было бы равносильно f(x)=x. В нашем случае это не так. Но по любому решения уравнения f(x)=x являются решениями и уравнения f(f(x))=x. Решим уравнение f(x)=x;

$x^2+3x-2=x;\ x^2+2x-2=0;\ (x+1)^2=3;\ x+1=\pm\sqrt{3};\ x=-1\pm\sqrt{3}.$

Теперь для нахождения оставшихся двух корней (если они есть) нужно разделить исходный многочлен

$f(f(x))-x=x^4+6x^3+8x^2-4x-4$ на $f(x)-x=x^2+2x-2;$

в результате получаем частное $x^2+4x+2.$ Ищем его корни:

$x^2+4x+2=0;\ (x+2)^2=2;\ x+2=\pm\sqrt{2};\ x=-2\pm\sqrt{2}.$

Ответ: $-1\pm\sqrt{3};\ -2\pm\sqrt{2}$

yugolovin_zn (64.0k баллов) 11 Сен, 18

zinaidazina_zn · Answer 1 · 2018-09-10T23:24:09+0000

(x²+3x-2)² +3(x²+3x-2) - 2 = x

(x²+3x-2)² +3(x²+3x-2) - 2 - x =0

1) Отдельным действием выполним возведение трехчлена в степень

(x²+3x-2)² = (x²)² + 2 · х² ·(3x-2) + (3х-2)² = х⁴+6х³-4х²+9х²-12х+4 =

= х⁴+6х³+5х²-12х+4

2) А теперь подставим и решаем.

х⁴+6х³+5х²-12х+4 +3x²+9x-6 - 2 - x =0

х⁴+6х³+8х²-4х-4 = 0

(х⁴ + 6х³ + 9х²) - 9х² + 8х² - 4х - 4 = 0

((х²)² + 2·х² · 3х + (3х)²) - х² - 4х - 4 = 0

(х²+3х)² - (х²+4х+4) = 0

(х²+3х)² - (х+2)² = 0 - разность квадратов.

(х²+3х-х-2)·(х²+3х+х+2) = 0

(х²+2х-2)·(х²+4х+2) = 0

Получаем два квадратных уравнения:

х²+2х-2 = 0 и х²+4х+2 = 0

Решаем первое:

х²+2х-2 = 0

D = 4-4·1·(-2) = 4+8=12; √D = 2√3;

x₁ = (-2-2√3)/2 = - 1 - √3

x₂ = (-2+2√3)/2 = - 1 + √3

Решаем второе:

х²+4х+2 = 0

D = 16-4·1·2 = 8; √D = 2√2

x₃ = (-4-2√2)2 = -2-√2

x₄ = (-4+2√2)2 = -2+√2

Ответ: {-2-√2; -1-√3; -1+√3; -2+√2 }