Даны точки A(2;3), B(4;8), C(9;6), D(7;1). Доказать что ABCD квадрат.

Докажем, что все стороны равны и что все углы равны по 90°.
AB = (4 - 2; 8 - 3) = (2; 5)
$|ab| = \sqrt{ {2}^{2} + {5}^{2} } = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$
BC = (9 - 4; 6 - 8) = (5; -2)
$|bc| = \sqrt{ {5}^{2} + {( - 2)}^{2} } = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$
CD = (7 - 9; 1 - 6) = (-2; -5)
$|cd| = \sqrt{ {( - 2)}^{2} + {( - 5)}^{2} } = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$
AD = (7 - 2; 1 - 3) = (5; -2)
$|ad| = \sqrt{ {5}^{2} + {( - 2)}^{2} } = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$
AB*BC = 2*5 + 5*(-2) = 10 - 10 = 0
=> угол между AB и BC равен 90°.

BC*CD = 5*(-2) + (-2)*(-5) = -10 + 10 = 0
=> угол между BC и CD равен 90°.

CD*AD = -2*5 + (-5)*(-2) = -10 + 10 = 0
=> угол между CD и AD равен 90°

AB*AD = 2*5 + 5*(-2) = 10 - 10 = 0
=> угол между AB и AD равен 90°.

Получили, что все углы равны 90° и все стороны равны.
Четырехугольник -- квадрат, что и требовалось доказать.