В стране Мульти-Пульти выпущены банкноты номиналом 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея...

Question

В стране Мульти-Пульти выпущены банкноты номиналом 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только эти банкноты, зашли в кафе.
Карлсон заказал
5 стаканов газированой воды
и 16 пироженых и заплатил за них без сдачи
Малыш заказал 3 стакана газированой воды и 1 пироженое
докажите что сколько бы не стоила вода и пироженые Малыш тоже может расчитаться без сдачи.

Answer 1

Пусть один стакан газированной воды стоит m, а одно пироженое n
Тогда сумма чека Карлсона:
(5m+16n ) и по условию она делится на 43

Тогда умножим её на 3, и
3( 5m+16n) тоже делится на 43
С другой стороны:
3( 5m+16n)=15m+48n=
=5(3m+n)+43n делится на 43

второе слагаемое делится на 43, и
так как 5 и 43 взаимно простые числа, то на 43
должен делиться второй множитель первого слагаемого, то есть
(3m+n), а это и есть та сумма , которую заплатил Малыш. Следовательно, и он может вполне рассчитаться без сдачи