Существует ли такая функция f(x), определённая на всей числовой прямой, что при всяком x справедливо 2f(x+2)+f(4−x)=2x+5? В случае отрицательного ответа приведите доказательство, а в случае положительного ответа найдите все такие функции f(x)
Функция, очевидно, линейная. Обозначим ее f(x) = ax+b. 2*(a(x+2) + b) + a(4-x) + b = 2x+5 2ax + 4a + 2b + 4a - ax + b = 2x+5 ax + (8a+3b) = 2x+5 Коэффициенты при одинаковых степенях х равны { a = 2 { 8a+3b = 5; b = (5-16)/3 = -11/3 f(x) = 2x - 11/3
Спасибо
Подставим в равенство вместо x разность 2 - x:
Домножаем это равенство на 2 и вычитаем из произведения равенство из условия:
Теперь подставим в полученное равенство 4 - x вместо x:
